홍라이프 계산기축 비틀림 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
토크를 전달하는 축은 비틀리면서 재료 내부에 전단응력이 생기고 한쪽 끝이 다른 쪽에 대해 회전합니다. 이 계산기는 속이 찬 원형 축이나 중공축의 최대 전단응력, 비틀림각, 극단면2차모멘트 J를 구하며, 구동축, 차축, 스핀들, 토션 바의 치수를 정할 때 씁니다.
계산 방법
- 극단면2차모멘트: J = π(D⁴ − d⁴)/32(mm⁴)입니다. D는 바깥지름, d는 안지름이며 속이 찬 축은 d = 0입니다.
- 최대 전단응력: τ = T × r ÷ J이고 r = D/2입니다. N·m 단위 토크에 1,000을 곱해 N·mm로 바꾸므로 τ는 MPa로 나옵니다.
- 비틀림각: θ = T × L ÷ (G × J)(rad)이며 180/π를 곱해 도로 바꿉니다. G는 전단탄성계수(GPa, 강철 약 79), L은 길이(m)입니다.
원리
원형 축은 비틀려도 단면이 평면을 유지하고 반지름선도 곧게 남습니다. 그래서 전단변형률은 중심에서 0이고 바깥으로 갈수록 직선적으로 커지며, 전단에 대한 후크의 법칙(τ = Gγ)에 따라 응력도 같은 모양이 됩니다. 각 고리 요소의 저항 모멘트를 모두 더하면 T = τJ/r이 되고, 길이를 따라 비틀림률 T/(GJ)를 적분하면 θ가 나옵니다. 중심부 재료는 응력을 거의 받지 않으므로 중공축으로 만들면 강도는 조금만 줄면서 무게를 크게 줄일 수 있습니다.
예제 풀이
- 입력값: T = 500 N·m = 500,000 N·mm, D = 40 mm, d = 0, L = 1 m, G = 79 GPa입니다.
- J = π × 40⁴ ÷ 32 ≈ 251,327.4 mm⁴입니다.
- τ = 500,000 × 20 ÷ 251,327.4 ≈ 39.78874 MPa입니다.
- θ = 500 × 1 ÷ (79 × 10⁹ × 251,327.4 × 10⁻¹²) ≈ 0.025183 rad = 1.442865°입니다.
| 바깥지름 (mm) | 최대 전단응력 (MPa) |
|---|---|
| 10 | 2,546.479089 |
| 20 | 318.3098862 |
| 30 | 94.31404035 |
| 40 | 39.78873577 |
| 50 | 20.37183272 |
| 60 | 11.78925504 |
| 80 | 4.973591972 |
결과 해석
τ는 재료의 허용 전단응력과 비교합니다. 전단 항복강도는 흔히 인장 항복강도의 약 0.5배(트레스카 기준)에서 0.58배(폰 미제스 기준)로 추정하며, 설계값은 안전율을 적용해 이보다 낮게 잡습니다. 비틀림각은 정밀 구동계나 기어 맞물림에서 중요하며 길이 1 m당 한계를 정해 두는 경우가 많습니다.
흔한 실수
- 반지름과 지름 공식을 섞어 씁니다. πr⁴/2와 πD⁴/32는 같은 값이지만 섞으면 16배 오차가 납니다.
- G 자리에 영률 E(강철 200 GPa)를 넣습니다.
- 사각형이나 열린 단면에 이 식을 적용합니다. 이런 단면은 뒤틀림이 생겨 다른 식이 필요합니다.
자주 묻는 질문
중공축이 더 효율적인 이유는 무엇인가요?
응력이 표면에서 가장 크기 때문에, 응력이 작은 중심부를 비우면 J보다 무게가 훨씬 많이 줄어듭니다.
G와 E는 어떤 관계인가요?
등방성 재료에서 G = E/(2(1 + ν))입니다. 강철은 200/(2 × 1.3) ≈ 77 GPa로 흔히 쓰는 79~80 GPa에 가깝습니다.
모터 출력으로 토크를 구하려면 어떻게 하나요?
T = P/ω이며, T(N·m) ≈ 9,549 × P(kW) ÷ rpm으로 계산합니다.
출처: R. G. Budynas and J. K. Nisbett, Shigley's Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill · J. M. Gere and B. J. Goodno, Mechanics of Materials, Cengage