홍라이프 계산기단진동 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 진폭, 주기·진동수 또는 질량과 용수철 상수, 위상으로 단진동하는 물체의 임의 시각에서의 위치, 속도, 가속도를 구합니다. 각진동수, 최대 속력과 최대 가속도, 에너지 분배도 보여 주어 용수철, 진자, 물리 과제에 쓰입니다.
계산 방법
x(t) = A cos(ωt + φ)
v(t) = −A ω sin(ωt + φ)
a(t) = −A ω² cos(ωt + φ) = −ω² x
ω = 2π ÷ T = 2π f, 또는 ω = √(k ÷ m)
운동 에너지 비율 = sin²(ωt + φ)
- 길이는 A의 단위를 따르며, φ는 도 단위입니다.
원리
용수철처럼 복원력이 변위에 비례하면 단진동이 일어납니다. 그러면 가속도가 −x에 비례하고, 해는 사인이나 코사인 파형이 됩니다. 물체는 가운데를 지날 때 가장 빠르고 양 끝에서 잠깐 멈추며, 그곳에서 가속도가 가장 큽니다. 전체 에너지 ½kA²는 일정하며 운동 에너지와 위치 에너지 사이를 오갑니다.
예제 풀이
기본값인 A = 0.1m, 주기 2초, φ = 0°, t = 0.3초로 계산합니다.
- ω = 2π ÷ 2 = 3.142rad/s, T = 2초입니다.
- 위상 = π × 0.3 = 0.9425rad(54°)입니다.
- x = 0.1 cos 54° = 0.05878m입니다.
- v = −0.1 × 3.142 × sin 54° = −0.2542m/s, a = −3.142² × 0.05878 = −0.5801m/s²입니다.
- 최대 속력 = 0.3142m/s, 최대 가속도 = 0.987m/s², 운동 에너지 비율 = sin² 54° = 65.5%입니다.
| 주기 또는 진동수 | 변위 x(t) |
|---|---|
| 0.5 | -0.0809 |
| 1 | -0.0309 |
| 1.5 | 0.0309 |
| 2 | 0.05878 |
| 2.5 | 0.0729 |
| 3 | 0.0809 |
| 4 | 0.0891 |
결과 해석
t = 0.3초에서 물체는 가운데보다 위에 있으면서 가운데로 돌아오는 중이므로 속도와 가속도가 모두 음수입니다. 운동 에너지 비율을 보면 그 순간 에너지의 약 3분의 2가 운동 에너지입니다. 이상적인 단진동에서 주기는 진폭과 관계없습니다.
흔한 실수
- 위상에서 도와 라디안을 섞는 경우
- 진동수 f와 각진동수 ω를 혼동하는 경우
- 진폭이 큰 진자도 정확히 단진동할 것이라 기대하는 경우
자주 묻는 질문
속력은 어디서 가장 큽니까?
x = 0인 가운데에서입니다.
가속도는 어디서 가장 큽니까?
|x| = A인 되돌아오는 점에서입니다.
주기가 진폭에 따라 달라집니까?
이상적인 단진동에서는 그렇지 않습니다.
용수철에서 ω는 어떻게 구합니까?
ω = √(k/m)입니다.
위상 상수는 무엇입니까?
t = 0에서 진동이 어디서 시작하는지를 정하는 각도로, 0°이면 최대 변위에서 출발합니다.
질량과 용수철 상수로도 계산됩니까?
됩니다. 진동 입력 방식을 바꾸면 ω = √(k/m)로 주기를 구해 같은 식에 넣습니다.
진자도 단진동입니까?
진폭이 작을 때는 거의 단진동이지만, 진폭이 커지면 주기가 조금 길어집니다.
위치가 음수이면 무슨 뜻입니까?
평형 위치 반대쪽에 있다는 뜻입니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 1 (2016), chapter 15 key equations