홍라이프 계산기SIR 모형 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 기초 감염 재생산수 R₀, 감염 기간, 처음 인원으로 닫힌 인구 집단에서 고전적인 SIR 감염병 모형을 계산합니다. 정점의 크기와 시기, 최종 유행 규모, 집단 면역 문턱값, 전파율과 회복률을 보여 주며, 역학과 수리 모형을 배우는 교육용 도구입니다.
계산 방법
dS/dt = −β S I, dI/dt = β S I − γ I, dR/dt = γ I
γ = 1 ÷ 감염 기간, β = R₀ × γ
최종 규모는 S∞ = S₀ e^(−R₀(1 − S∞ − R₀,면역))을 수치적으로 풀어 구합니다.
집단 면역 문턱값 = 1 − 1 ÷ R₀
- 0.05일 간격의 4차 룽게–쿠타 방법으로 적분하며, S, I, R은 인구 비율입니다.
원리
감염자 한 명은 남아 있는 감수성자 수에 비례하는 속도로 사람들을 감염시키고, 평균 감염 기간이 지나면 회복합니다. 처음에는 거의 모두가 감수성자라 한 명이 약 R₀명을 감염시켜 유행이 커집니다. 감수성자가 줄면 실효 재생산수가 떨어지고, 1 아래로 내려가면 환자 수가 줄기 시작합니다. 이는 1 − 1/R₀만큼이 면역을 가졌을 때 일어나지만, 유행은 그 문턱을 넘어서까지 이어지므로 최종 규모는 더 큽니다.
예제 풀이
기본값인 인구 1,000,000명, 처음 감염자 10명, R₀ = 2.5, 감염 기간 7일, 기존 면역 없음, 365일로 계산합니다.
- γ = 1 ÷ 7 = 하루 0.1429, β = 2.5 × 0.1429 = 하루 0.3571입니다.
- 정점: 56일째에 감염자 233,488명(23.35%)입니다.
- 최종 규모: 인구의 89.3%, 892,646명이며, 10.7%는 감염되지 않습니다.
- 집단 면역 문턱값 = 1 − 1/2.5 = 60%, 처음 실효 재생산수 = 2.5입니다.
| 기초감염재생산수 R₀ | 동시 감염자 최대 (명) |
|---|---|
| 0.625 | 10 |
| 1.25 | 21,493 |
| 1.88 | 131,414 |
| 2.5 | 233,488 |
| 3.12 | 315,384 |
| 3.75 | 380,866 |
| 5 | 478,108 |
결과 해석
정점과 최종 규모는 모형의 가정 아래에서 아무 대응이 없을 때의 유행 모습을 보여 줍니다. 실제 유행은 행동 변화, 방역 조치, 계절, 인구 구조에 따라 달라지므로 결과가 크게 다른 경우가 많습니다. 이 모형은 예측이 아니라 문턱값과 R₀의 영향을 이해하는 데 유용합니다.
흔한 실수
- 결과를 예측으로 여기는 경우
- 유행 후반의 실효 재생산수와 R₀를 혼동하는 경우
- 최종 규모가 집단 면역 문턱값과 같다고 생각하는 경우
자주 묻는 질문
R₀는 무엇입니까?
모두가 감수성자인 집단에서 환자 한 명이 평균적으로 감염시키는 사람 수입니다.
유행이 집단 면역 문턱값을 넘어서는 이유는 무엇입니까?
문턱값에 도달했을 때도 아직 감염력을 가진 사람이 많아 감염이 계속되기 때문입니다.
감염 기간은 무엇을 정합니까?
회복률 γ를 정하고, R₀와 함께 전파율 β를 정합니다.
처음부터 면역자가 있으면 도움이 됩니까?
그렇습니다. 면역 비율을 넣으면 정점이 더 낮고 늦어지는 것을 볼 수 있습니다.
출처: W. O. Kermack and A. G. McKendrick, Proc. R. Soc. A 115, 700–721 (1927)