홍라이프 계산기세장비 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 단면, 길이, 끝단 조건으로 기둥의 세장비 KL/r을 구하고, 기둥이 긴 기둥(오일러)인지 중간 기둥(존슨)인지 판단합니다. 회전 반지름, 한계 세장비, 이상적 임계 응력, 임계 하중도 보여 주어 기계·구조 공학 학생이 씁니다.
계산 방법
세장비 λ = K L ÷ r, r = √(I ÷ A)
r: 속이 찬 원 d/4, 원관 √(D² + d_i²)/4, 직사각형 (짧은 변)/√12
한계 세장비 C_c = √(2π² E ÷ S_y)
오일러(λ ≥ C_c): σ_cr = π² E ÷ λ²
존슨(λ < C_c): σ_cr = S_y − (S_y λ ÷ 2π)² ÷ E
임계 하중 = σ_cr × A
- K는 끝단 조건에 따라 정해집니다(양단 핀은 1.0).
원리
가는 기둥은 압축을 받으면 재료가 부서지기 훨씬 전에 옆으로 휘는 좌굴로 무너질 수 있습니다. 좌굴이 얼마나 쉬운지는 유효 길이가 재료가 중심에서 얼마나 넓게 퍼져 있는지에 비해 얼마나 긴지에 달려 있고, 그 퍼짐을 회전 반지름으로 나타냅니다. 오일러는 좌굴 응력이 세장비의 제곱에 반비례함을 보였습니다. 짧고 굵은 기둥에서는 이 식이 항복 강도보다 큰 응력을 주므로 그 범위에는 존슨 포물선을 쓰며, 두 식은 C_c에서 만납니다.
예제 풀이
기본값인 원관 60mm × 두께 5mm, L = 3m, 양단 핀, E = 200GPa, S_y = 250MPa로 계산합니다.
- 안지름 = 50mm, r = √(60² + 50²) ÷ 4 = 19.53mm, 단면적 = 863.9mm²입니다.
- KL = 3m, λ = 3,000 ÷ 19.53 = 153.6입니다.
- C_c = √(2π² × 200,000 ÷ 250) = 125.7이므로 긴 기둥(오일러)입니다.
- σ_cr = π² × 200,000 ÷ 153.6² = 83.6MPa입니다.
- 임계 하중 = 83.6 × 863.9 = 72.24kN입니다.
| 지름 또는 직사각형 폭 (mm) | 세장비 KL/r |
|---|---|
| 15 | 758.9 |
| 30 | 332.8 |
| 45 | 210.5 |
| 60 | 153.6 |
| 75 | 120.9 |
| 90 | 99.7 |
| 120 | 73.7 |
결과 해석
이 값들은 안전율이 없는 이상적 임계값입니다. 실제 기둥에는 초기 결함과 편심 하중이 있어, 설계 기준은 자체 기둥 곡선과 저항 계수를 적용해 훨씬 낮은 허용 하중을 줍니다. 끝단을 고정하면 K가 줄어 좌굴 하중이 커지고, 위쪽 끝이 자유로우면 K는 2가 됩니다.
흔한 실수
- 회전 반지름 대신 반지름을 쓰는 경우
- 유효 길이 계수 K를 빠뜨리는 경우
- 약축으로 좌굴할 직사각형에 강축의 r을 쓰는 경우
- 임계 하중을 안전한 사용 하중으로 여기는 경우
자주 묻는 질문
회전 반지름은 무엇입니까?
√(I/A)로, 단면이 중심에서 얼마나 퍼져 있는지를 나타냅니다.
K = 1은 무슨 뜻입니까?
양 끝이 핀이라 유효 길이가 실제 길이와 같다는 뜻입니다.
짧은 기둥에 존슨 식을 쓰는 이유는 무엇입니까?
그 범위에서는 오일러 식이 항복 강도보다 큰 값을 주기 때문입니다.
임계 하중은 안전한 하중입니까?
아닙니다. 안전율을 적용하기 전의 이상적 좌굴 하중입니다.
같은 무게라면 관이 봉보다 유리합니까?
그렇습니다. 재료가 중심에서 멀리 있어 회전 반지름이 커지므로 좌굴에 더 강합니다.
출처: Standard column theory: Euler critical stress and the J. B. Johnson parabolic formula (machine-design texts)