홍라이프 계산기현의 진동과 정상파 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
기타, 바이올린, 피아노 줄처럼 양 끝이 고정된 현은 정해진 진동수로만 진동합니다. 이 계산기는 현의 진동 길이, 장력, 단위 길이당 질량으로 각 배음의 진동수를 구하고, 줄을 따라 전달되는 파동의 속력도 함께 알려 줍니다. 줄 굵기를 고르거나, 원하는 음을 내는 데 필요한 장력을 가늠하거나, 줄을 조이면 음이 높아지는 이유를 설명할 때 씁니다.
계산 방법
- 파동의 속력: v = √(T / μ)
- n번째 배음의 진동수: fₙ = (n / 2L) · √(T / μ) = n · v / (2L)
L은 진동하는 길이(m), T는 장력(N), μ는 선밀도, n은 배음 번호이며 n = 1이 기본 진동입니다. μ는 g/m로 입력하고 계산기가 1000으로 나누어 kg/m로 바꾸므로 결과는 m/s와 Hz로 나옵니다.
원리
팽팽한 줄의 횡파는 √(T/μ)의 속력으로 나아갑니다. 장력이 크면 되돌리는 힘이 커지고, 질량이 크면 관성이 커지기 때문입니다. 양 끝에서 반사된 파동이 서로 간섭하면 정상파가 생깁니다. 두 끝은 움직이지 않는 마디여야 하므로 줄에는 반파장이 정수 개만 들어갈 수 있고, L = n · λ/2, 곧 λₙ = 2L/n입니다. 여기에 f = v/λ를 적용하면 fₙ = n·v/(2L)이 됩니다. 진동수가 길이에 반비례하고 장력의 제곱근에 비례하며 선밀도의 제곱근에 반비례한다는 이 관계를 메르센의 법칙이라고 합니다.
예제 풀이
- 입력값은 L = 0.65 m, T = 70 N, μ = 1.1 g/m = 0.0011 kg/m, n = 1입니다.
- T / μ = 70 / 0.0011 ≈ 63,636.4 m²/s²입니다.
- 파동의 속력은 v = √63,636.4 ≈ 252.26 m/s입니다.
- f₁ = 252.26 / (2 × 0.65) = 252.26 / 1.3 ≈ 194.05 Hz(194.0480689)입니다.
표준 조율의 G3(약 196.0 Hz)에 가까운 음입니다.
| 현의 길이 (m) | 진동수 (Hz) |
|---|---|
| 0.163 | 776.1922756 |
| 0.325 | 388.0961378 |
| 0.487 | 258.7307585 |
| 0.65 | 194.0480689 |
| 0.812 | 155.2384551 |
| 0.975 | 129.3653793 |
| 1.3 | 97.02403444 |
결과 해석
이상적인 모형에서 배음은 기본 진동수의 정수배이므로 n = 2이면 약 388.1 Hz, n = 3이면 약 582.1 Hz입니다. 한 옥타브 올리려면 장력을 4배로 하거나 길이를 절반으로 줄여야 하며, 기타의 프렛이 줄을 짧게 만들어 음을 바꾸는 원리가 이것입니다. 진동수는 장력의 제곱근에 비례하므로 장력이 1% 변하면 음높이는 약 0.5%, 대략 8.6센트만 변합니다.
흔한 실수
- g/m 칸에 kg/m 값을 넣는 경우입니다. 결과가 약 31.6배 어긋납니다.
- 줄 전체 길이를 넣는 경우입니다. 너트와 새들(브리지) 사이의 진동 길이를 넣어야 합니다.
- 장력을 kgf로 넣는 경우입니다. 1 kgf ≈ 9.81 N으로 바꾸어야 합니다.
자주 묻는 질문
원하는 음에 필요한 장력은 어떻게 구하나요?
식을 정리하면 T = μ · (2Lf / n)²입니다. 기본 진동이면 T = μ(2Lf)²입니다.
저음 줄은 왜 철사를 감아 만드나요?
감은 철사가 줄을 크게 뻣뻣하게 하지 않으면서 질량(μ)을 늘려, 적당한 장력과 길이로도 낮은 음을 낼 수 있게 합니다.
선밀도란 무엇인가요?
줄의 질량을 길이로 나눈 값입니다. 속이 찬 원기둥이면 밀도 × 단면적과 같습니다.
출처: M. Mersenne, Harmonie universelle (1636) · N. H. Fletcher and T. D. Rossing, The Physics of Musical Instruments, Springer