홍라이프 계산기트러스 요소 강성 행렬 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
이 계산기는 영률, 단면적, 두 절점 좌표로 2차원 트러스(봉) 요소의 4×4 전체 좌표계 강성 행렬을 만듭니다. 구조해석 수업과 유한요소 프로그램에서 쓰는 직접강성법의 기본 단위입니다.
계산 방법
L = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²), k = E × A ÷ L
c = (x₂ − x₁) ÷ L, s = (y₂ − y₁) ÷ L
K = k × [c², cs, −c², −cs; cs, s², −cs, −s²; −c², −cs, c², cs; −cs, −s², cs, s²]
- E는 GPa, A는 mm², 좌표는 m이며 k와 행렬 값은 kN/mm(= MN/m)로 표시합니다.
- 행과 열 순서는 u₁x, u₁y, u₂x, u₂y 자유도입니다.
원리
핀으로 연결된 봉은 축력만 받으므로 자기 축 방향으로는 강성 EA/L인 스프링과 같습니다. δ만큼 늘리면 EA·δ/L의 힘으로 되당깁니다. 전체 좌표계 행렬은 이 스프링을 x–y 좌표로 표현한 것입니다. 절점의 x 또는 y 변위 가운데 봉 방향 성분만 봉을 늘리므로 방향 코사인 c, s가 곱해지고, 생긴 축력도 다시 x, y 성분으로 나뉘어 c², cs, s² 항이 생깁니다. 행렬은 대칭이며, 봉 전체를 늘이지 않고 옮기면 힘이 생기지 않으므로 각 행의 합은 0입니다.
예제 풀이
기본값 E = 200GPa, A = 1,000mm², 절점 1 (0, 0), 절점 2 (3, 4)m로 계산합니다.
- L = √(3² + 4²) = 5m, 각도 = 53.13°입니다.
- c = 0.6, s = 0.8입니다.
- k = 200×10⁹ × 1×10⁻³ ÷ 5 = 4×10⁷N/m = 40kN/mm입니다.
- c²k = 14.4, csk = 19.2, s²k = 25.6입니다.
- 1행 = 14.4 19.2 −14.4 −19.2, 2행 = 19.2 25.6 −19.2 −25.6, 3행 = −14.4 −19.2 14.4 19.2, 4행 = −19.2 −25.6 19.2 25.6입니다.
| 영률 E (GPa) | 축 강성 EA/L (kN/mm) |
|---|---|
| 50 | 10 |
| 100 | 20 |
| 150 | 30 |
| 200 | 40 |
| 250 | 50 |
| 300 | 60 |
| 400 | 80 |
결과 해석
성분 Kij는 다른 자유도를 모두 고정하고 자유도 j에 단위 변위를 줄 때 자유도 i에 생기는 힘입니다. 수평 봉은 c² 항만, 수직 봉은 s² 항만 남습니다. 트러스 전체를 풀려면 각 요소 행렬을 같은 절점 자유도 위치에 더해 전체 행렬을 만들고, 지점 조건을 넣은 뒤 K·u = F를 풀어 변위를 구합니다.
흔한 실수
- E는 MPa, A는 m²처럼 단위를 섞는 경우
- 요소 행렬 하나를 그대로 역행렬로 풀려는 경우(지점 조건 전에는 특이 행렬입니다)
- 휨을 받는 부재에 트러스 요소를 쓰는 경우
- 조립할 때 자유도 번호를 잘못 맞추는 경우
자주 묻는 질문
강성 행렬이 왜 특이 행렬인가요?
지점이 없으면 봉이 힘 없이 강체처럼 움직일 수 있어 해가 하나로 정해지지 않기 때문입니다.
절점 순서를 바꾸면 행렬이 달라지나요?
c와 s의 부호가 함께 바뀌어 곱은 그대로이므로 행렬은 같습니다.
부재력은 어떻게 구하나요?
축력 = k × [c, s]·(u₂ − u₁), 즉 봉 방향 늘음량에 EA/L을 곱합니다.
출처: Standard direct-stiffness method for a 2-D truss element, as presented in finite-element and structural-analysis textbooks