확산계수로 입자 크기 구하기 (스토크스-아인슈타인, DLS)

스토크스-아인슈타인 입자 크기 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

동적 광산란(DLS) 장비는 입자 크기를 직접 재지 않습니다. 산란광이 흔들리는 속도로 병진 확산 계수 D를 구한 뒤, 스토크스-아인슈타인 식으로 크기를 환산합니다. 이 계산기는 바로 그 환산을 해 주므로 장비 보고서를 검산하거나, 문헌의 확산 계수를 크기로 바꾸거나, 온도와 용매 점도가 나노입자·단백질·리포솜 크기에 주는 영향을 확인할 때 쓸 수 있습니다.

계산 방법

d_H = k_B·T / (3π·η·D)

• k_B = 1.380649 × 10⁻²³ J/K (볼츠만 상수)
• T = 절대온도(K), 입력한 °C에 273.15를 더합니다.
• η = 용매의 점성계수로, mPa·s 값을 1000으로 나누어 Pa·s로 바꿉니다(25 °C 물은 약 0.89 mPa·s).
• D = 확산 계수(m²/s)

미터 단위 결과에 10⁹를 곱해 나노미터로 나타냅니다.

원리

액체 속 작은 입자는 용매 분자에 무작위로 부딪히며 브라운 운동을 합니다. 아인슈타인은 확산 계수가 열에너지를 마찰 계수로 나눈 값, 즉 D = k_B·T / f임을 보였습니다. 점성 유체 속을 천천히 움직이는 구에 대해 스토크스 법칙은 f = 6π·η·r = 3π·η·d를 줍니다. 두 식을 합치면 위 공식이 됩니다. 온도가 높으면 빨리 확산하고, 점도가 크거나 입자가 크면 느리게 확산합니다. 이렇게 얻은 값은 같은 속도로 확산하는 구의 지름이므로 용매화층이나 흡착된 고분자까지 포함하며, 그래서 유체역학적 지름이라고 부릅니다.

예제 풀이

1. 입력: D = 4.4 × 10⁻¹² m²/s, T = 25 °C, η = 0.89 mPa·s
2. T = 298.15 K, k_B·T = 4.1164 × 10⁻²¹ J
3. 분모: 3π × 0.00089 × 4.4 × 10⁻¹² = 3.6907 × 10⁻¹⁴
4. d_H = 4.1164 × 10⁻²¹ ÷ 3.6907 × 10⁻¹⁴ = 1.1153 × 10⁻⁷ m = 111.53 nm

결과 해석

D와 크기는 반비례하여 D가 절반이 되면 지름은 두 배가 됩니다. 작은 단백질은 물에서 D가 10⁻¹⁰ m²/s 수준이고 크기는 수 nm이며, 100 nm 입자는 4~5 × 10⁻¹² m²/s 근처입니다. DLS 결과는 산란 세기 가중 평균(z-평균)이어서 소수의 큰 응집체가 값을 끌어올릴 수 있으므로 다분산 지수도 함께 확인하셔야 합니다.

흔한 실수

• 글리세롤·당·고농도 염이 든 시료에 물의 점도를 넣는 경우
• 손계산에서 켈빈 대신 섭씨를 넣는 경우
• 3π 대신 6π를 써서 지름이 아닌 반지름을 구하는 경우

자주 묻는 질문

DLS 크기가 전자현미경 크기보다 큰 이유는 무엇인가요?

DLS는 용매화층과 표면 리간드, 느슨한 응집체까지 포함하고 큰 입자에 가중치가 실립니다. 전자현미경은 건조된 핵만 봅니다.

측정 온도를 바꾸면 크기가 달라지나요?

입자 자체는 대개 그대로지만 T와 η가 함께 변합니다. 상온 부근 물의 점도는 1 K당 약 2%씩 변하므로 정확한 η를 넣어야 합니다.

1 nm보다 작은 분자에도 쓸 수 있나요?

용질이 용매 분자보다 충분히 크지 않으면 스토크스 법칙의 정확도가 떨어져 근사치에 그칩니다.

출처: A. Einstein, Annalen der Physik, 1905 (브라운 운동 논문) · ISO 22412, Particle size analysis — Dynamic light scattering (DLS)