홍라이프 계산기스토크스 법칙 침강 속도 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
스토크스 법칙은 작은 구형 입자가 정지한 유체 속에서 중력, 부력, 점성 항력이 균형을 이룬 뒤 일정하게 가라앉는(또는 떠오르는) 속도를 알려 줍니다. 입자 지름, 입자와 유체의 밀도, 유체의 점성계수를 넣으면 침강 속도(mm/s)와 법칙의 적용 여부를 판단하는 입자 레이놀즈 수를 구합니다. 침전지 설계, 비중계법을 이용한 흙의 입도 분석, 먼지와 에어로졸의 거동, 원심분리기 설계에 씁니다.
계산 방법
- v = (ρ_p − ρ_f) · g · d² ÷ (18μ)입니다. d는 µm를 m로, μ는 mPa·s를 Pa·s로 바꾸고 g = 9.80665 m/s²를 씁니다. 결과는 mm/s로 표시합니다.
- 입자 레이놀즈 수는 Re_p = ρ_f · v · d ÷ μ이며, 1보다 충분히 작아야 법칙을 믿을 수 있습니다.
원리
떨어지는 구는 받는 힘들이 상쇄될 때까지 가속합니다. 무게에서 부력을 뺀 힘은 (ρ_p − ρ_f)·g·πd³/6입니다. 스토크스는 1851년에 레이놀즈 수가 매우 작을 때 구가 받는 항력이 F = 3πμdv임을 보였습니다. 두 힘을 같게 놓고 v를 풀면 계산식이 나옵니다. 항력은 d에 비례하지만 끌어내리는 힘은 d³에 비례하므로 침강 속도는 지름의 제곱에 비례합니다. Re_p가 1에 가까워지거나 넘으면 관성에 의한 항력이 더해져 스토크스 식이 속도를 과대평가합니다.
예제 풀이
- 입력값: d = 50 µm = 5 × 10⁻⁵ m, ρ_p = 2650 kg/m³(석영), ρ_f = 998 kg/m³(물), μ = 1.0 mPa·s입니다.
- (2650 − 998) × 9.80665 = 16,200.6 N/m³입니다.
- d² = 2.5 × 10⁻⁹ m², 18μ = 0.018 Pa·s입니다.
- v = 16,200.6 × 2.5 × 10⁻⁹ ÷ 0.018 = 2.250 mm/s(화면 2.250081361)입니다.
- Re_p = 998 × 0.00225 × 5 × 10⁻⁵ ÷ 0.001 = 0.112로 1보다 작아 법칙이 성립합니다.
| 입자 지름 (µm) | 침강 속도 (mm/s) |
|---|---|
| 12.5 | 0.1406300851 |
| 25 | 0.5625203403 |
| 37.5 | 1.265670766 |
| 50 | 2.250081361 |
| 62.5 | 3.515752127 |
| 75 | 5.062683062 |
| 100 | 9.000325444 |
결과 해석
모래 경계(63 µm)보다 조금 작은 굵은 실트인 50 µm 입자는 물 1 m를 약 7.4분 만에 가라앉습니다. 10 µm 입자는 25배 느린 약 0.09 mm/s이고, 2 µm 이하의 점토 입자는 며칠이 걸립니다. 미세한 현탁액이 오래 탁하게 남는 이유이며, 원심분리기를 쓰는 이유이기도 합니다. 물이 따뜻하면 점성이 낮아져 더 빨리 가라앉습니다.
흔한 실수
- 지름 대신 반지름을 넣어 결과가 4분의 1로 나오는 경우입니다.
- 밀도 차가 아니라 입자 밀도만 쓰는 경우입니다.
- Re_p를 확인하지 않는 경우입니다. 굵은 모래는 식보다 느리게 가라앉습니다.
- 농도가 높아 입자끼리 방해하는 현탁액에 적용하는 경우입니다.
자주 묻는 질문
입자가 유체보다 가벼우면 어떻게 되나요?
속도가 음수로 나오며, 기름방울이나 기포처럼 떠오른다는 뜻입니다.
Re_p가 1보다 크면 어떻게 하나요?
항력계수 상관식(예: Schiller-Naumann 식)을 써서 반복 계산으로 종단 속도를 구합니다.
원심분리기에는 어떻게 적용하나요?
g 대신 원심 가속도 ω²r을 넣습니다. 이 값은 중력의 수천 배에 이를 수 있습니다.
출처: G. G. Stokes, Transactions of the Cambridge Philosophical Society 9 (1851) 8–106 · ISO 14688-1, Geotechnical investigation and testing — Identification and classification of soil · F. M. White, Viscous Fluid Flow, McGraw-Hill