홍라이프 계산기스트리터-펠프스 용존산소 처짐 계산 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
하천에 유기물 오수가 들어오면 세균이 이를 분해하며 용존산소(DO)를 소비하고, 수면은 공기 중 산소를 흡수합니다. 그 결과 방류 지점 하류에서 DO가 내려갔다가 다시 회복되는 산소 처짐 곡선이 나타납니다. 이 계산기는 스트리터-펠프스 모델로 주어진 유하 시간 뒤의 산소 부족량과 DO, 그리고 DO가 가장 낮아지는 시간과 값을 구합니다.
계산 방법
- 부족량: D(t) = kd·L₀/(ka − kd) · (e^(−kd·t) − e^(−ka·t)) + D₀·e^(−ka·t)
- DO: C(t) = Cs − D(t)
- 임계 시간: tc = 1/(ka − kd) · ln[(ka/kd)(1 − D₀(ka − kd)/(kd·L₀))]
- 최저 DO: Cs − Dc, Dc = (kd/ka)·L₀·e^(−kd·tc)
L₀는 방류 직후 최종 BOD, D₀는 초기 부족량, kd와 ka는 자연로그 기준 탈산소·재폭기 계수(1/일), Cs는 포화 DO입니다.
원리
하천을 압출류로 보고 두 개의 1차 반응을 겹칩니다. BOD는 L = L₀e^(−kd·t)로 줄면서 kd·L 속도로 산소를 쓰고, 재폭기는 부족량에 비례해 ka·D만큼 산소를 보충합니다. 따라서 dD/dt = kd·L − ka·D이며 이 선형 미분방정식의 해가 D(t)입니다. 초기에는 소비가 보충보다 커서 부족량이 커지고, BOD가 줄고 부족량이 커지면 재폭기가 따라잡습니다. dD/dt = 0인 지점이 최저 DO입니다.
예제 풀이
- 입력: L₀ = 15, D₀ = 1, kd = 0.35, ka = 0.7, Cs = 9.1, t = 1일
- kd·L₀/(ka − kd) = 15, e^(−0.35) = 0.70469, e^(−0.7) = 0.49659
- D(1) = 15 × 0.20810 + 0.49659 = 3.6181 mg/L, DO = 5.4819 mg/L
- tc = ln[2 × (1 − 0.35/5.25)] ÷ 0.35 = ln 1.86667 ÷ 0.35 = 1.7833일
- Dc = 0.5 × 15 × 0.53571 = 4.0179, 최저 DO = 5.0821 mg/L
| 초기 BOD L₀ (mg/L) | t에서의 산소 부족량 (mg/L) |
|---|---|
| 3.75 | 1.276970751 |
| 7.5 | 2.057356198 |
| 11.2 | 2.837741645 |
| 15 | 3.618127093 |
| 18.8 | 4.39851254 |
| 22.5 | 5.178897987 |
| 30 | 6.739668882 |
결과 해석
tc에 유속을 곱하면 최악 지점의 위치를 알 수 있습니다. 온수성 어류 보호 기준은 흔히 5 mg/L 안팎이고, 약 2 mg/L 아래는 일반적으로 빈산소 상태로 봅니다. 예제의 최저값은 5 mg/L를 겨우 넘으므로 부하가 조금 늘거나 수온이 오르면 그 아래로 떨어질 수 있습니다. 얕고 빠른 하천처럼 ka가 크거나 처리를 강화해 L₀를 낮추면 최저 DO가 올라갑니다.
흔한 실수
- 상용로그 기준 계수와 자연로그 기준 계수를 섞는 경우
- 여름 하천에 20 °C 계수와 포화값을 그대로 쓰는 경우
- 최종 BOD 대신 BOD₅를 L₀로 넣는 경우
- tc가 음수로 나올 때 그대로 쓰는 경우(이때 최저 DO는 방류 지점입니다)
자주 묻는 질문
부족량과 DO는 어떻게 다른가요?
부족량은 포화값에서 모자란 양으로 D = Cs − C이며, 포화값 자체는 수온이 오르면 낮아집니다.
BOD₅를 최종 BOD로 바꾸려면?
1차 반응이라면 L₀ = BOD₅ / (1 − e^(−5k))로, 실험실에서 구한 k를 씁니다.
출처: H. W. Streeter, E. B. Phelps, U.S. Public Health Service Bulletin 146, 1925 · S. C. Chapra, Surface Water-Quality Modeling, McGraw-Hill