홍라이프 계산기응력집중(판의 구멍) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
하중을 받는 판에 구멍이 있으면 응력이 구멍을 돌아서 흐르며, 구멍 가장자리에서는 평균보다 훨씬 큰 응력이 생깁니다. 이 계산기는 인장을 받는 평판 중앙의 원형 구멍에 대해 이론 응력집중계수 Kt, 순단면 공칭응력, 최대 응력을 추정합니다. 볼트 구멍, 리벳 구멍, 경량화 구멍과 브래킷의 피로 검토에 씁니다.
계산 방법
- 지름비: d/W, 구멍 지름을 판 폭으로 나눈 값입니다.
- Kt(순단면 기준): Kt ≈ 3 − 3.14(d/W) + 3.667(d/W)² − 1.527(d/W)³입니다. 유한 폭 판에 대해 피터슨 응력집중계수 도표에 실린 근사식입니다.
- 순단면 공칭응력: σnet = F ÷ ((W − d) × t)이며 kN을 N으로 바꾸어 MPa로 구합니다.
- 최대 응력: σmax = Kt × σnet입니다.
원리
무한히 넓은 판에서는 키르시(1898)의 탄성해에 따라 원형 구멍 가장자리의 응력이 먼 곳 응력의 정확히 3배가 됩니다. 구멍을 지나야 할 힘의 흐름이 구멍 주위로 몰리기 때문입니다. 폭이 유한한 판에서는 구멍이 커질수록 순단면이 좁아져 공칭응력이 이미 커지므로, 순단면 기준으로 잰 Kt는 d/W가 커질수록 3에서 2 쪽으로 줄어듭니다. 다항식은 이 경향을 나타냅니다.
예제 풀이
- 입력값: F = 20 kN = 20,000 N, W = 60 mm, d = 12 mm, t = 5 mm입니다.
- d/W = 12 ÷ 60 = 0.2입니다.
- Kt = 3 − 0.628 + 0.14668 − 0.012216 = 2.506464입니다.
- 순단면적은 (60 − 12) × 5 = 240 mm²이고, σnet = 20,000 ÷ 240 ≈ 83.33333 MPa입니다.
- 최대 응력은 2.506464 × 83.33333 ≈ 208.872 MPa입니다.
| 판 폭 (mm) | Kt (피터슨/헤이우드 근사) |
|---|---|
| 15 | 2.053056 |
| 30 | 2.232992 |
| 45 | 2.394474667 |
| 60 | 2.506464 |
| 75 | 2.585220608 |
| 90 | 2.642904889 |
| 120 | 2.721143 |
결과 해석
연성 금속에 정하중이 걸리면 최대 응력은 국부적이어서 구멍 가장자리가 조금 항복하며 하중을 재분배하므로, 강도에는 보통 순단면 응력이 중요합니다. 피로 하중이나 취성 재료에서는 최대 응력이 직접 문제가 됩니다. 피로 설계에서는 노치 민감도 q(0~1)를 써서 Kf = 1 + q(Kt − 1)로 보정합니다.
흔한 실수
- 순단면 기준 식인데 Kt를 총단면 응력 F/(Wt)에 곱합니다. 예제의 총단면 응력은 66.7 MPa로, 이렇게 곱하면 최대 응력이 틀리게 나옵니다.
- 판 가장자리에 가까운 구멍이나 볼트가 하중을 전달하는 구멍에 적용합니다. 핀 하중 구멍은 계수가 훨씬 큽니다.
- Kt가 재료에 따라 달라진다고 생각합니다. Kt는 형상에만 의존합니다.
자주 묻는 질문
작은 구멍의 Kt는 왜 3인가요?
단축 인장을 받는 무한 평판의 원형 구멍에 대한 고전적인 탄성해의 결과입니다.
구멍이 클수록 Kt도 커지나요?
순단면 기준 Kt는 작아지지만 순단면 응력이 커지므로 최대 응력은 여전히 증가합니다.
응력집중을 줄이는 방법은 무엇인가요?
모서리를 크게 둥글리고, 구멍을 응력이 큰 곳에서 떨어뜨리며, 피로 부품의 구멍은 매끄럽게 다듬거나 냉간 확관을 고려합니다.
출처: W. D. Pilkey and D. F. Pilkey, Peterson's Stress Concentration Factors, Wiley · G. Kirsch, "Die Theorie der Elastizität und die Bedürfnisse der Festigkeitslehre", Zeitschrift des VDI 42 (1898)