홍라이프 계산기열팽창 계산(선팽창·부피팽창) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
대부분의 물질은 데우면 늘어나고 식히면 줄어듭니다. 이 계산기는 막대, 배관, 레일, 보가 온도 변화에 따라 길이가 얼마나 달라지는지, 새 길이는 얼마인지, 부피는 대략 몇 퍼센트 변하는지 구합니다. 교량과 배관의 신축이음 설계, 바닥재와 외장재의 이격 간격, 서로 다른 금속 부품의 끼워맞춤 검토에 쓰입니다.
계산 방법
- 길이 변화: ΔL = α × L₀ × ΔT입니다. α는 10⁻⁶/K 단위로, L₀은 m로 넣고 결과는 mm로 표시합니다.
- 새 길이: L = L₀ × (1 + αΔT)입니다.
- 부피 변화: ΔV/V ≈ 3αΔT이며 백분율로 표시합니다.
대표적인 선팽창 계수(×10⁻⁶/K)는 강철 약 12, 콘크리트 10~12, 구리 약 17, 알루미늄 약 23입니다.
원리
온도가 오르면 원자의 진동 폭이 커집니다. 원자 사이의 힘은 대칭이 아니어서 밀어 붙이기보다 잡아 떼기가 쉬우므로, 진동이 커질수록 평균 간격이 조금씩 넓어지고 물체 전체가 길어집니다. 온도 변화가 크지 않으면 이 증가량은 처음 길이와 온도 변화에 거의 정확히 비례하므로 ΔL = αL₀ΔT가 됩니다. 등방성 고체는 세 방향으로 똑같이 늘어나므로 부피는 (1 + αΔT)³ ≈ 1 + 3αΔT가 됩니다. αΔT가 아주 작아 제곱 이상의 항은 무시할 수 있습니다.
예제 풀이
- 입력값: L₀ = 10 m, α = 12 × 10⁻⁶/K(강철), ΔT = 40 K입니다.
- ΔL = 12 × 10⁻⁶ × 10 × 40 = 0.0048 m = 4.8 mm입니다.
- 새 길이는 10 × (1 + 0.00048) = 10.0048 m입니다.
- 부피 변화는 3 × 12 × 10⁻⁶ × 40 = 0.00144 = 0.14%(0.144%)입니다.
| 처음 길이 (m) | 길이 변화 (mm) |
|---|---|
| 2.5 | 1.2 |
| 5 | 2.4 |
| 7.5 | 3.6 |
| 10 | 4.8 |
| 12.5 | 6 |
| 15 | 7.2 |
| 20 | 9.6 |
결과 해석
10 m에 4.8 mm는 작아 보이지만, 강철이 움직이지 못하게 막혀 있으면 이 팽창이 응력으로 바뀝니다. 완전히 구속된 막대의 열응력은 σ = E·α·ΔT이며, 강철의 E ≈ 200 GPa를 넣으면 이 예에서 약 96 MPa로 일반 구조용 강재 항복강도의 상당 부분에 이릅니다. 긴 구조물에 신축이음, 롤러, 루프 배관을 두는 이유입니다. 알루미늄과 강철처럼 α가 다른 재료를 붙여 두면 온도에 따라 미끄러지거나 휘어집니다.
흔한 실수
- 입력값이 이미 10⁻⁶ 단위인데 α를 0.000012로 넣습니다. 12로 넣어야 합니다.
- 가장 추울 때와 가장 더울 때의 전체 범위 대신 평균 온도 변화를 씁니다.
- 액체에 3α를 적용합니다. 액체의 부피팽창 계수는 따로 측정한 값을 써야 합니다.
자주 묻는 질문
30 m 강철 레일은 −10 °C에서 40 °C 사이에 얼마나 늘어나나요?
ΔT = 50 K이므로 ΔL = 12 × 10⁻⁶ × 30 × 50 = 0.018 m, 약 18 mm입니다.
유리병에 뜨거운 물을 부으면 왜 깨지나요?
바깥과 안쪽이 서로 다른 속도로 데워져 두께 방향으로 응력이 생기기 때문입니다. 붕규산 유리처럼 α가 작은 유리는 이에 더 잘 견딥니다.
데우면 오히려 줄어드는 물질도 있나요?
일부 있습니다. 0 °C에서 4 °C 사이의 물과 몇몇 특수 세라믹이 그 예입니다.
출처: D. Halliday, R. Resnick and J. Walker, Fundamentals of Physics, Wiley, section on thermal expansion · CRC Handbook of Chemistry and Physics, CRC Press (thermal expansion coefficients)