홍라이프 계산기틸레 계수·촉매 유효인자 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
다공성 촉매 입자 안에서는 반응물이 세공을 따라 확산해 들어가야 반응할 수 있습니다. 반응이 확산보다 훨씬 빠르면 입자 중심까지 반응물이 닿지 못해 촉매의 상당 부분이 일을 하지 않게 됩니다. 틸레 계수는 이 반응과 확산의 경쟁을 나타내고, 유효인자 η는 입자가 실제로 내는 반응속도가 이상적인 속도의 몇 분의 일인지를 알려 줍니다. 입자 크기, 1차 반응속도상수, 유효확산계수, 형상을 넣어 계산합니다.
계산 방법
- 틸레 계수 φ = R × √(k / D_e), R은 mm를 m로 환산
- 구형: η = (3/φ) × (1/tanh φ − 1/φ)
- 평판: η = tanh φ ÷ φ, 이때 R은 두께의 절반
k는 입자 부피 기준 1차 반응속도상수(1/s), D_e는 세공 안의 유효확산계수(m²/s)입니다.
원리
틸레는 촉매 입자 내부의 정상 상태 확산–반응 물질수지를 풀었습니다. 농도는 표면에서 중심으로 갈수록 낮아지며, φ²은 반응 속도와 확산 속도의 비를 뜻합니다. φ가 작으면 확산이 충분히 빨라 입자 전체가 표면 농도에 가깝고 η는 1에 가까워집니다. φ가 크면 반응물이 표면 근처의 얇은 껍질에서 다 소모되어, 구형에서는 η가 3/φ(평판은 1/φ)에 가까워집니다. 유효인자는 관측되는 반응속도를 입자 내부 전체가 표면 농도일 때의 반응속도로 나눈 값입니다.
예제 풀이
- 입력값: R = 2 mm, k = 5 s⁻¹, D_e = 1 × 10⁻⁸ m²/s, 구형
- √(k/D_e) = √(5 × 10⁸) = 22,360.7 m⁻¹
- φ = 0.002 × 22,360.7 = 44.72
- tanh 44.72 = 1이므로 η = (3/44.72) × (1 − 1/44.72) = 0.06708 × 0.97764 = 0.06558
| 펠릿 반지름, 평판이면 두께의 절반 (mm) | 틸레 계수 φ |
|---|---|
| 0.5 | 11.18033989 |
| 1 | 22.36067977 |
| 1.5 | 33.54101966 |
| 2 | 44.72135955 |
| 2.5 | 55.90169944 |
| 3 | 67.08203932 |
| 4 | 89.4427191 |
결과 해석
입자 능력의 약 6.6%만 쓰이고 있으며, 반응은 표면에서 R/φ ≈ 0.045 mm 깊이의 얇은 층에서 일어납니다. 대략 φ가 0.5보다 작으면 확산 제한이 무시할 만하고(η > 0.9), 5보다 크면 제한이 강합니다. 이 영역에서는 η ≈ 3/φ이므로 입자 반지름을 절반으로 줄이면 η가 거의 두 배가 됩니다. 입자를 작게 하거나, 활성 금속을 표면에만 담지한 에그셸 촉매를 쓰거나, 세공을 키우는 방법이 있지만 압력 손실과 강도를 함께 따져야 합니다.
흔한 실수
- 반지름 대신 지름(평판은 전체 두께)을 넣는 경우
- 세공 안 유효확산계수 대신 기체 중 분자확산계수를 넣는 경우
- 구형 계수를 R/3 기준으로 정의한 교재의 판단 기준을 그대로 적용하는 경우
자주 묻는 질문
k를 모를 때도 확산 제한을 판단할 수 있나요?
네. Weisz–Prater 기준은 k 대신 관측된 반응속도를 이용해 내부 확산의 영향을 판단합니다.
확산 제한이 크면 겉보기 활성화에너지가 왜 절반이 되나요?
관측 속도가 √(k D_e)에 비례하므로 겉보기 활성화에너지가 실제 값의 약 절반으로 나타납니다.
출처: E. W. Thiele, Industrial and Engineering Chemistry 31 (1939) 916 · H. S. Fogler, Elements of Chemical Reaction Engineering, Pearson · O. Levenspiel, Chemical Reaction Engineering, 3rd edition, Wiley