홍라이프 계산기탱크 배수 시간 계산기(토리첼리) 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
수직 원통형 개방 탱크의 바닥 구멍으로 물이 얼마나 빨리 빠져나가고, 탱크가 다 비워지는 데 시간이 얼마나 걸리는지를 어림하는 계산기입니다. 수위, 탱크 지름, 구멍 지름, 유량계수를 넣으면 현재 유출 속도, 완전히 비우는 데 걸리는 시간, 처음 유량을 보여 줍니다. 빗물 통이나 수영장, 공정 탱크의 배수를 계획할 때와 물리·미적분 문제를 풀 때 유용합니다.
계산 방법
- 유출 속도(토리첼리 정리): v = √(2gH), g = 9.80665 m/s²입니다.
- 처음 유량: Q₀ = C_d · a · √(2gH), a = πd²/4는 구멍의 단면적입니다.
- 배수 시간: t = (A ÷ (C_d · a)) · √(2H ÷ g), A = πD²/4는 탱크 단면적이며 60으로 나누어 분으로 표시합니다.
원리
토리첼리는 구멍에서 나오는 액체의 속도가 수면 높이에서 자유 낙하한 물체의 속도와 같다는 사실을 밝혔습니다. 이는 거의 정지해 있는 대기압의 수면과 분류 사이에 베르누이 방정식을 적용한 결과와 같습니다. 날카로운 구멍을 지난 물줄기는 곧바로 가늘어지고(축류) 약간의 손실도 있으므로, 실제 유량은 이론 유량에 C_d(날카로운 오리피스는 약 0.6)를 곱합니다. 수위가 내려가면 속도는 √H에 비례해 줄어듭니다. A·dH/dt = −C_d·a·√(2gH)를 H에서 0까지 적분하면 배수 시간 식이 나옵니다. 흥미롭게도 처음 유량이 그대로 유지될 때보다 정확히 2배의 시간이 걸립니다.
예제 풀이
- 입력값: H = 2 m, D = 1 m, d = 25 mm, C_d = 0.61입니다.
- v = √(2 × 9.80665 × 2) = 6.263 m/s(화면 6.263114241)입니다.
- 면적비 A/a = (1000/25)² = 1600이고, C_d로 나누면 2622.95입니다.
- √(2H/g) = √(4 ÷ 9.80665) = 0.63866 s이므로 t = 2622.95 × 0.63866 = 1675.2 s = 27.92분(화면 27.91955906)입니다.
- Q₀ = 0.61 × 0.00049087 × 6.2631 = 1.875 L/s입니다.
| 수위 (m) | 현재 유출 속도 (m/s) |
|---|---|
| 0.5 | 3.131557121 |
| 1 | 4.428690551 |
| 1.5 | 5.42401604 |
| 2 | 6.263114241 |
| 2.5 | 7.002374597 |
| 3 | 7.670717046 |
| 4 | 8.857381103 |
결과 해석
배수 시간은 수위의 제곱근에 비례하지만 탱크와 구멍의 지름비에는 제곱으로 비례합니다. 구멍 지름을 2배로 키우면 시간은 4분의 1로 줄고, 수위를 2배로 높여도 시간은 약 41%만 늘어납니다. 또 윗부분 절반 높이는 전체 시간의 약 29% 만에 빠지고, 나머지 대부분의 시간은 수위가 낮아 느려진 마지막 구간에서 쓰입니다.
흔한 실수
- 구멍 지름을 mm가 아닌 m로 넣는 경우입니다.
- 배관이나 밸브가 달린 출구에 0.61을 그대로 쓰는 경우입니다.
- 원뿔형이나 눕힌 원통처럼 높이에 따라 단면적이 달라지는 탱크에 적용하는 경우입니다.
자주 묻는 질문
유출 속도에는 왜 C_d가 들어가지 않나요?
이론적인 토리첼리 속도이기 때문입니다. 실제 속도는 조금 낮고(속도계수 약 0.97~0.99), 수축은 주로 유효 단면적을 줄입니다.
밀폐된 탱크도 똑같이 빠지나요?
아닙니다. 공기 구멍이 없으면 수면 위 압력이 낮아져 흐름이 느려지거나 꿀렁거립니다.
구멍이 바닥보다 위에 있으면 어떻게 하나요?
H를 탱크 바닥이 아니라 수면에서 구멍까지의 높이로 넣습니다.
출처: E. Torricelli, Opera geometrica (De motu gravium), 1644 · F. M. White, Fluid Mechanics, McGraw-Hill