홍라이프 계산기비틀림 상수 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
비틀림 상수 J는 단면 모양 때문에 축이나 보가 비틀림에 얼마나 저항하는지를 나타냅니다. 이 계산기는 원형 봉, 원형 관, 직사각형 봉, 얇은 닫힌 상자 단면, 얇은 열린 단면의 J를 구하고, 비틀림 강성 GJ와 토크에 따른 미터당 비틀림 각도를 보여 줍니다. 기계 설계와 구조 공학에서 쓰입니다.
계산 방법
원형 봉 J = π D⁴ ÷ 32, 원형 관 J = π (D⁴ − d⁴) ÷ 32
직사각형 a × b (a ≥ b): J = (a b³ ÷ 3) × [1 − (192 ÷ π⁵)(b ÷ a) Σ tanh(nπa ÷ 2b) ÷ n⁵] (n = 1, 3, 5 …)
얇은 닫힌 상자: J = 4 Am² t ÷ s (브레트 식)
얇은 열린 단면: J = U t³ ÷ 3
비틀림률 = T ÷ (G J)
- Am은 벽 중심선이 둘러싼 면적, s는 그 둘레, U는 펼친 길이, t는 벽 두께입니다.
- G는 전단탄성계수(GPa), T는 토크(N·m)입니다.
원리
원형 축이 비틀릴 때 각 단면은 원판처럼 돌고 전단 응력은 중심에서 바깥으로 직선적으로 커지므로 J는 극관성모멘트와 같습니다. 원형이 아닌 단면은 면 밖으로 뒤틀리고 모서리는 응력을 거의 받지 않아 극관성모멘트보다 덜 단단합니다. 직사각형은 생브낭이 위 급수로 정확히 풀었습니다. 닫힌 얇은 관은 전단 흐름이 벽을 한 바퀴 돌아 매우 단단하지만, 같은 관을 길게 쪼개면 얇은 두께만으로 버텨야 해 비틀림에 훨씬 약해집니다.
예제 풀이
기본값인 직사각형 100mm × 50mm, G = 79GPa, 토크 500N·m로 계산합니다.
- ab³ ÷ 3 = 100 × 125,000 ÷ 3 = 4.167×10⁶mm⁴입니다.
- 급수 보정을 하면 J = 2.859 × 10⁶mm⁴ = 285.9cm⁴ = 2.859 × 10⁻⁶m⁴입니다(a/b = 2의 교과서 계수 0.229와 일치).
- 비교용 극관성모멘트 = 5.208 × 10⁶mm⁴입니다.
- GJ = 79×10⁹ × 2.859×10⁻⁶ = 225.8kN·m²입니다.
- 비틀림 = 0.5 ÷ 225.8 = 0.002214rad/m = 0.1269°/m입니다.
결과 해석
J가 클수록 같은 토크와 길이에서 덜 비틀립니다. 이 직사각형에 극관성모멘트를 쓰면 강성을 80% 넘게 과대평가합니다. 같은 재료라면 닫힌 관이 비슷한 무게의 H형강이나 채널보다 비틀림에 훨씬 강합니다. 미터당 비틀림에 부재 길이를 곱하면 전체 비틀림 각이 됩니다.
흔한 실수
- 원형이 아닌 단면에 극관성모멘트를 쓰는 경우
- 두꺼운 벽에 얇은 벽 공식을 쓰는 경우
- GJ 계산에서 mm⁴와 m⁴를 섞는 경우
자주 묻는 질문
직사각형의 J는 왜 극관성모멘트와 다른가요?
원형이 아닌 단면은 뒤틀림이 생겨 모서리가 전단을 거의 받지 않기 때문입니다.
강재의 전단탄성계수는 얼마인가요?
일반 구조용·탄소강은 약 79~80GPa입니다.
쪼갠 관은 왜 비틀림에 약한가요?
닫힌 고리가 없어 전단이 벽을 돌지 못하고 얇은 두께로만 버티기 때문입니다.
출처: Beer & Johnston, Mechanics of Materials, torsion of non-circular members (coefficients c₂ for rectangular bars) · PTC Creo Simulate Help, "Beam Section Property Calculations" (thin-walled closed and open section formulas)