홍라이프 계산기상대론적 속도 덧셈 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
우주선이 광속의 절반으로 움직이면서 앞쪽으로 탐사선을 자기 기준 광속의 75%로 쏘면, 내가 볼 때 탐사선의 속도는 얼마일까요? 고전 물리로는 광속의 125%이지만 특수상대성이론은 항상 광속보다 작은 다른 답을 줍니다. 이 계산기는 아인슈타인의 속도 덧셈 공식을 적용하고 고전적인 합과 비교합니다.
계산 방법
u = (v + u′) ÷ (1 + v u′ ÷ c²)
- v는 나에 대한 움직이는 좌표계의 속도, u′는 그 좌표계 안에서 물체의 속도이며, 둘 다 같은 직선 방향의 광속 대비 %입니다. 음수는 반대 방향입니다.
- 결과 속도는 km/s(c = 299,792.458km/s)로도 보여 주고, 결과의 로런츠 인자 γ = 1 ÷ √(1 − u²/c²)와 고전 합과의 차이도 표시합니다.
원리
일상에서는 분모 1 + vu′/c²가 거의 정확히 1이므로 속도가 그냥 더해집니다. 속도가 빠르면 움직이는 좌표계의 시간 지연과 길이 수축 때문에 그쪽에서 잰 거리와 시간이 내 기준으로 다르게 바뀝니다. 로런츠 변환이 이 효과를 합치면 위 공식이 됩니다. 이 공식에는 두 가지 중요한 성질이 있습니다. 광속보다 작은 두 속도를 합치면 항상 광속보다 작고, 어느 한쪽이 광속이면 결과도 정확히 광속입니다. 빛의 속도가 모든 관측자에게 같다는 가정을 수식으로 나타낸 것입니다.
예제 풀이
기본값인 좌표계 광속의 50%, 그 안에서 물체 75%로 계산합니다.
- 광속 단위로 v = 0.5, u′ = 0.75입니다.
- 분자 = 1.25로, 고전적인 합 125%입니다.
- 분모 = 1 + 0.5 × 0.75 = 1.375입니다.
- u = 1.25 ÷ 1.375 = 0.909091, 즉 광속의 90.9091% = 272,539km/s입니다.
- γ = 2.4004, 고전 합과의 차이는 광속의 34.0909%입니다.
결과 해석
고전 합과 상대론적 결과의 차이는 그 속도에서 상대성이 얼마나 중요한지 보여 줍니다. 광속의 몇 % 수준에서는 차이가 아주 작고, 광속에 가까울수록 커집니다. 탐사선을 뒤로 쏜 경우처럼 물체 속도를 음수로 넣으면 올바르게 줄어든 결과가 나옵니다. 입자물리와 천체물리에서 빠르게 움직이는 두 좌표계를 결합할 때마다 쓰는 식입니다.
흔한 실수
- 상대론적 속도에서 속도를 그냥 더하는 경우
- 운동 방향에 수직인 성분에 이 식을 쓰는 경우(옆 방향 성분은 다르게 변환됩니다)
- 어떤 속도를 어느 좌표계에서 잰 것인지 혼동하는 경우
자주 묻는 질문
광속보다 느린 두 속도를 합쳐 광속을 넘을 수 있나요?
없습니다. 두 입력이 광속보다 작으면 결과도 항상 광속보다 작습니다.
물체가 빛이면 어떻게 되나요?
u′ = 100%를 넣으면 좌표계 속도와 관계없이 정확히 100%가 나옵니다.
반대 방향이면 어떻게 하나요?
한쪽을 음수로 넣습니다. 예를 들어 50%와 −75%는 광속의 −40%가 됩니다.
출처: OpenStax, University Physics Volume 3 (2016), §5.6 "Relativistic Velocity Transformation"