홍라이프 계산기폰 미제스·주응력 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
실제 부품의 한 점에는 두 방향의 수직응력과 전단응력이 동시에 작용하는 경우가 많습니다. 이 계산기는 평면응력 상태를 주응력, 면내 최대 전단응력, 주응력 방향, 폰 미제스 등가응력으로 바꾸고, 항복강도와 비교해 폰 미제스 기준과 트레스카 기준의 안전율을 보여 줍니다.
계산 방법
- 모어원의 중심과 반지름: C = (σx + σy)/2, R = √(((σx − σy)/2)² + τxy²)입니다.
- 주응력: σ₁ = C + R, σ₂ = C − R이며 R은 면내 최대 전단응력입니다.
- 폰 미제스 응력: σvm = √(σx² − σxσy + σy² + 3τxy²)입니다.
- 안전율: 폰 미제스는 fy ÷ σvm, 트레스카는 fy ÷ max(|σ₁|, |σ₂|, |σ₁ − σ₂|)이며 면외 응력 σ₃ = 0을 포함한 값입니다.
- 주응력 방향: θp = ½·atan2(2τxy, σx − σy)로 x축에서 잰 각입니다.
원리
좌표축을 돌리면 응력 성분이 달라지는데, 모어원은 그 모든 조합을 하나의 원으로 나타냅니다. 원이 수평축과 만나는 두 점이 주응력이며, 이 방향에서는 전단응력이 0입니다. 연성 금속은 수직응력만이 아니라 전단에 의한 미끄럼으로 항복합니다. 폰 미제스 기준은 뒤틀림 에너지가 단순 인장 시험에서 항복할 때의 값에 이르면 항복한다고 보고, 트레스카 기준은 최대 전단응력이 항복강도의 절반에 이르면 항복한다고 봅니다. 트레스카 쪽이 약간 더 보수적입니다.
예제 풀이
- 입력값: σx = 80 MPa, σy = 20 MPa, τxy = 30 MPa, fy = 250 MPa입니다.
- C = 50 MPa, R = √(30² + 30²) ≈ 42.42641 MPa(면내 최대 전단응력)입니다.
- σ₁ ≈ 92.42641 MPa, σ₂ ≈ 7.573593 MPa입니다.
- σvm = √(6,400 − 1,600 + 400 + 2,700) = √7,900 ≈ 88.88194 MPa입니다.
- 폰 미제스 안전율은 250 ÷ 88.88194 ≈ 2.81272, 트레스카 안전율은 250 ÷ 92.42641 ≈ 2.704855입니다.
- 주응력 방향은 ½ × atan2(60, 60) = 22.5°입니다.
| σx (MPa) | 폰 미제스 응력 (MPa) |
|---|---|
| 20 | 55.67764363 |
| 40 | 62.44997998 |
| 60 | 74.16198487 |
| 80 | 88.88194417 |
| 100 | 105.3565375 |
| 120 | 122.8820573 |
| 160 | 159.6871942 |
결과 해석
안전율이 1보다 크면 정하중에서 그 점이 항복하지 않는다고 예측합니다. 기계 설계에서는 하중의 불확실성에 따라 1보다 넉넉히 큰 값을 목표로 합니다. 예제에서 절대 최대 전단응력은 σ₃ = 0이 면내 원 바깥에 있으므로 R이 아니라 σ₁/2 ≈ 46.2 MPa입니다.
흔한 실수
- 주철 같은 취성 재료에 폰 미제스 기준을 씁니다. 최대 수직응력설이나 모어-쿨롱 기준이 적합합니다.
- 압축응력의 음의 부호를 빠뜨립니다.
- 피로 하중에 정적 안전율을 그대로 씁니다.
자주 묻는 질문
폰 미제스 응력은 실제로 존재하는 응력인가요?
복합 응력 상태를 인장 시험값 하나와 비교할 수 있게 만든 등가 응력입니다.
트레스카와 폰 미제스는 왜 다른가요?
항복을 보는 관점이 다르기 때문입니다. 차이는 순수 전단에서 가장 커서, 트레스카는 0.5 fy, 폰 미제스는 약 0.577 fy에서 항복한다고 예측합니다.
주응력 방향은 무엇을 뜻하나요?
x축에서 σ₁ 방향까지의 회전각으로, 이 방향에서는 재료에 전단응력이 작용하지 않습니다.
출처: R. G. Budynas and J. K. Nisbett, Shigley's Mechanical Engineering Design, McGraw-Hill · R. von Mises, "Mechanik der festen Körper im plastisch-deformablen Zustand", Göttinger Nachrichten (1913)