홍라이프 계산기카드 드로우 확률 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
매직 더 개더링, 포켓몬 카드 게임, 유희왕 같은 트레이딩 카드 게임(TCG)에서는 핵심 카드가 첫 손패나 특정 턴까지 들어올 확률이 덱 구성을 좌우합니다. 이 계산기는 초기하분포를 이용해 덱의 장수, 넣은 카드의 장수, 뽑는 장수를 입력하면 원하는 카드를 지정한 장수 이상 뽑을 확률을 구해 줍니다.
계산 방법
P(X ≥ k) = Σ(i = k부터 min(K, n)까지) C(K, i) × C(N − K, n − i) ÷ C(N, n)
- N: 덱 장수, K: 해당 카드의 장수, n: 뽑는 장수, k: 최소 원하는 장수입니다.
- C(a, b): a개 중 b개를 고르는 조합의 수입니다.
- 각 항은 정확히 i장이 들어온 경우의 확률이고, k장부터 가능한 최대 장수까지 더합니다.
원리
잘 섞인 덱에서 n장을 뽑는 모든 조합은 똑같이 일어날 수 있으므로, 확률은 경우의 수를 세는 문제가 됩니다. 가능한 손패는 모두 C(N, n)가지입니다. 원하는 카드가 정확히 i장인 손패는 K장 중 i장, 나머지 N − K장 중 n − i장을 고르는 것이므로 C(K, i) × C(N − K, n − i)가지입니다. 한 번 뽑은 카드는 덱으로 돌아가지 않는 비복원 추출이므로 이항분포가 아니라 초기하분포를 씁니다. '1장 이상'은 1 − C(N − K, n) ÷ C(N, n)으로 간단히 구할 수도 있습니다.
예제 풀이
- 입력값: 덱 60장, 카드 4장, 7장 드로우, 1장 이상입니다.
- 한 장도 없을 확률: C(56, 7) ÷ C(60, 7) = 0.6005
- 1장 이상: 1 − 0.6005 = 39.95%
- 항별 확인: 정확히 1장 33.63%, 2장 5.93%, 3장 0.38%, 4장 0.007%를 더하면 39.95%입니다.
| 덱 매수 | 확률 |
|---|---|
| 15 | 94.87% |
| 30 | 67.69% |
| 45 | 50.46% |
| 60 | 39.95% |
| 75 | 33% |
| 90 | 28.08% |
| 120 | 21.62% |
결과 해석
약 40%라는 것은 60장 덱에 4장 넣은 카드가 다섯 판 중 두 판꼴로 첫 7장에 들어온다는 뜻입니다. 한 장 더 뽑는 8장 기준이면 44.5%, 10장이면 52.8%로 오릅니다. 1장만 넣으면 첫 7장에 들어올 확률은 11.7%에 불과하고, 같은 역할을 하는 카드를 8장 넣으면 65.4%가 됩니다. 40장 덱에 3장, 첫 손패 5장이면 33.8%입니다. 이런 수치로 몇 장을 넣을지, 대체 카드가 얼마나 필요한지 판단할 수 있습니다.
흔한 실수
- 복원 추출을 가정하는 이항분포를 써서 확률을 조금 높게 계산하는 경우입니다.
- '정확히 k장'과 'k장 이상'을 혼동하는 경우입니다.
- 포켓몬의 프라이즈 카드처럼 이미 덱에서 빠진 카드를 고려하지 않는 경우입니다.
- 멀리건으로 다시 뽑을 기회가 있다는 점을 빼먹는 경우입니다.
자주 묻는 질문
3턴까지 몇 장을 보게 되나요?
매직 기준으로 첫 손패 7장에 턴마다 1장씩 더해, 선공은 3턴에 9장, 후공은 10장입니다.
서로 다른 카드 두 종류를 모두 뽑을 확률은요?
다변량 초기하분포로 따로 계산해야 하며, 각각을 뽑을 확률보다 낮습니다.
4/60에 7을 곱하면 안 되나요?
그러면 46.7%가 되는데, 여러 장 들어온 손패를 중복해서 센 값입니다. 정확한 값은 39.95%입니다.
출처: William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley (hypergeometric distribution)