홍라이프 계산기아이템 강화 기대 비용 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
많은 RPG와 MMORPG는 장비를 강화할 때 시도마다 성공 확률이 있고, 시도 비용이 들며, 실패하면 아이템이 파괴될 위험이 있기도 합니다. 이 계산기는 강화 한 단계를 성공하기까지 평균 몇 번 시도해야 하는지, 파괴 위험을 넣었을 때와 뺐을 때의 기대 비용, 그리고 10번 안에 성공할 확률을 계산합니다.
계산 방법
성공 확률을 s, 실패 시 파괴 확률을 b(모두 소수)라고 하면 다음과 같습니다.
- 기대 시도 횟수 = 1 ÷ s
- 기대 비용(파괴 없음) = 1회 비용 ÷ s
- 파괴 포함 기대 비용 = (1회 비용 + (1 − s) × b × 아이템 복구 비용) ÷ s
- 10회 안에 성공할 확률 = 1 − (1 − s)¹⁰
원리
첫 성공이 나올 때까지 같은 시도를 반복하는 것은 기하분포를 따르며, 평균 시도 횟수는 성공 확률의 역수입니다. 시도마다 비용이 같으므로 기대 비용은 1회 비용에 기대 시도 횟수를 곱한 값입니다. 파괴 위험은 시도마다 추가 손실을 더합니다. 시도가 실패할 확률이 (1 − s), 실패가 파괴로 이어질 확률이 b이므로 한 번 시도할 때마다 평균 (1 − s) × b × 복구 비용만큼의 손실을 감수하는 셈입니다. 파괴되면 아이템을 다시 마련해 같은 단계에서 계속 시도한다고 가정합니다.
예제 풀이
- 입력값은 성공 확률 30%, 1회 비용 1,000, 파괴 확률 0%, 복구 비용 50,000입니다.
- 기대 시도 횟수 = 1 ÷ 0.30 = 3.33회(3.333333333)입니다.
- 기대 비용 = 1,000 ÷ 0.30 = 3,333.33입니다.
- 파괴 확률이 0%이므로 파괴 포함 기대 비용도 3,333.33입니다.
- 10회 안에 성공할 확률 = 1 − 0.7¹⁰ ≈ 97.18%입니다.
| 1회 성공 확률 (%) | 성공 1회당 기대 시도 횟수 |
|---|---|
| 7.5 | 13.33333333 |
| 15 | 6.666666667 |
| 22.5 | 4.444444444 |
| 30 | 3.333333333 |
| 37.5 | 2.666666667 |
| 45 | 2.222222222 |
| 60 | 1.666666667 |
결과 해석
파괴 위험은 비용을 빠르게 키웁니다. 같은 조건에서 파괴 확률만 10%로 바꾸면 (1,000 + 0.7 × 0.1 × 50,000) ÷ 0.3 = 15,000으로, 안전할 때의 4.5배가 됩니다. 기대 비용을 이미 강화된 아이템의 시세와 비교해 사는 쪽이 싸다면 직접 강화하는 것이 평균적으로 손해입니다.
흔한 실수
- 평균이 3.3회이니 4번째에는 성공한다고 기대합니다. 네 명 중 한 명은 4번으로도 부족합니다.
- 한 단계 결과를 여러 단계에 그대로 적용합니다. 단계마다 따로 계산해 더해야 합니다.
- 실패 시 단계 하락, 보호 아이템, 실패 누적 보정처럼 이 모델에 없는 규칙을 놓칩니다.
자주 묻는 질문
+0에서 +10까지 비용은 어떻게 구하나요?
단계마다 확률과 비용으로 기대 비용을 구해 더합니다. 단계 하락이 있으면 마르코프 연쇄 모델이 필요합니다.
평균보다 실제로 더 적게 드는 경우가 많은 이유는 무엇인가요?
기하분포는 꼬리가 길어서 소수의 매우 불운한 경우가 평균을 끌어올리기 때문입니다.
출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability (geometric distribution and expectation) · J. R. Norris, Markov Chains, Cambridge University Press