가챠 확률·천장 계산기

가챠 확률·천장 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

가챠 게임은 희귀 아이템이나 캐릭터가 공개된 낮은 확률로 나오는 뽑기를 판매합니다. 이 계산기는 정해진 횟수 안에 원하는 대상을 한 번 이상 얻을 확률, 50%와 90% 확률에 도달하는 뽑기 횟수, 평균적으로 필요한 횟수, 그리고 천장(확정 보상)이 있을 때 최악의 경우 드는 비용을 보여 줍니다.

계산 방법

• 한 번 이상 얻을 확률 = 1 − (1 − p)ⁿ이며, p는 확률을 소수로, n은 뽑기 횟수입니다. 천장을 설정했고 n이 천장 횟수 이상이면 100%입니다.
• 50% / 90% 도달 횟수 = ln(1 − 목표 확률) ÷ ln(1 − p)를 올림한 값이며, 천장에서 확정되므로 천장 횟수를 넘지 않습니다.
• 평균 뽑기 횟수(천장 없음) = 1 ÷ p, 곧 100 ÷ 확률(%)입니다.
• 평균 뽑기 횟수(천장 포함) = (1 − (1 − p)^천장) ÷ p로, 천장에서 잘린 기하분포의 평균입니다.
• 최악의 경우 비용 = 천장 횟수 × 1회 비용

원리

매번의 뽑기가 같은 확률 p로 서로 독립이라면, n번 동안 하나도 못 얻는 경우는 매번 꽝이 나오는 경우뿐이며 그 확률은 (1 − p)ⁿ입니다. 나머지는 모두 한 번 이상 당첨된 경우이므로 여사건으로 1 − (1 − p)ⁿ이 됩니다. 이 식을 n에 대해 풀면 원하는 확률에 필요한 횟수가 나옵니다. 첫 당첨까지의 횟수는 기하분포를 따르고 그 평균이 1 ÷ p입니다. 천장은 이 분포의 끝을 잘라 누구도 천장 횟수보다 더 뽑을 필요가 없게 만듭니다.

예제 풀이

1. 입력값은 확률 0.6%, 뽑기 90회, 천장 90회, 1회 비용 1.90달러입니다.
2. 90회가 천장 90회에 도달하므로 한 번 이상 얻을 확률은 100%입니다. 천장이 없다면 1 − 0.994⁹⁰ ≈ 41.8%입니다.
3. 50% 도달은 ln 0.5 ÷ ln 0.994 ≈ 115.2, 90% 도달은 약 382.6이지만 둘 다 천장보다 크므로 결과는 90 / 90입니다.
4. 천장 없는 평균 횟수 = 100 ÷ 0.6 = 166.67회, 천장 90을 넣으면 (1 − 0.994⁹⁰) ÷ 0.006 = 69.70회입니다.
5. 최악의 경우 비용 = 90 × 1.90 = 171.00달러입니다.

결과 해석

50%·90% 도달 횟수가 모두 천장과 같다면 운보다 천장이 획득 시점을 정하는 경우가 많다는 뜻입니다. 90회 안에 못 얻는 약 58%가 모두 90번째에 얻으므로 평균은 약 70회로 줄어듭니다. 천장 직전에 확률이 크게 오르는 소프트 천장이 있으면 실제 평균 횟수는 1 ÷ p보다 적습니다. 반대로 확정 보상이 픽업 대상이 아닐 수 있는 반반 규칙이 있으면 최악의 비용이 두 배가 될 수 있습니다.

흔한 실수

• 확률을 단순히 곱해 0.6% × 90 = 54%로 계산합니다. 천장이 없을 때 정답은 41.8%입니다.
• 오래 꽝이 나왔으니 이제 나올 차례라고 믿습니다. 독립 시행에서는 과거 결과가 기본 확률을 바꾸지 않습니다.
• 천장 횟수가 다음 배너로 이어지지 않을 수 있다는 점을 놓칩니다.

자주 묻는 질문

1 ÷ p번 뽑으면 반드시 나오나요?

아닙니다. 그것은 평균이며, 정확히 1 ÷ p번 뽑았을 때 확률은 약 63%에 불과합니다.

확률형 아이템의 확률은 공개되나요?

우리나라에서는 게임산업진흥에 관한 법률에 따라 2024년 3월부터 확률형 아이템의 확률 정보 공개가 의무화되었습니다.

소프트 천장이 있으면 결과가 달라지나요?

네. 막바지 확률이 올라가므로 실제 획득 확률은 이 계산보다 높습니다.

출처: Sheldon M. Ross, A First Course in Probability (geometric distribution) · 게임산업진흥에 관한 법률, 확률형 아이템 정보 공개 규정(2024년 3월 시행)