홍라이프 계산기연승 확률 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
5연승은 얼마나 드문 일일까요? 이 계산기는 서로 다른 두 가지 답을 줍니다. 하나는 n경기 중 어딘가에서 k연승 이상이 한 번이라도 나올 확률이고, 다른 하나는 바로 다음 k경기를 모두 이길 확률입니다. 시즌 중에 나온 연승이 특별한지 판단할 때는 앞의 값이, 경기 전에 예상할 때는 뒤의 값이 의미가 있습니다.
계산 방법
- 다음 k경기 전승 = p^k이며, p는 경기당 승리 확률입니다.
- n경기 중 k연승 이상은 동적 계획법으로 정확히 구합니다. 현재 연승 길이가 0, 1, …, k − 1일 확률을 기록하고, 매 경기 이기면(확률 p) 연승이 1 늘고 지면(확률 1 − p) 0으로 돌아갑니다. 이겨서 k에 도달하는 확률은 '연승 달성'으로 따로 더하고 계산에서 뺍니다.
각 경기는 서로 독립이고 승리 확률이 같다고 가정합니다.
원리
경기가 많으면 연승이 시작될 수 있는 지점도 많아집니다. 30경기에는 연속된 5경기 구간이 26개 있어서, 한 구간의 성공 확률은 7.8%에 불과해도 적어도 한 구간에서 성공할 확률은 훨씬 커집니다. 다만 구간끼리 겹치므로 단순히 더하거나 곱할 수 없고, 동적 계획법은 연승이 처음 완성되는 순간에 한 번만 세어 겹침 문제를 해결합니다. 실링의 고전적 결과에 따르면 n경기의 최장 연승은 대략 log₁/ₚ(n(1 − p)) 근처이며, n이 커져도 천천히 늘어납니다.
예제 풀이
- 입력값: p = 60%, k = 5, n = 30입니다.
- 다음 5경기 전승 확률은 0.6^5 = 0.07776 = 7.78%입니다.
- 30경기에 걸쳐 연승 길이 점화식을 계산하면 합계가 0.64428이므로, 5연승 이상이 한 번이라도 나올 확률은 64.43%입니다.
- 비교하면 승률 50% 팀은 같은 30경기에서 약 36.8%, 승률 60% 팀이 10경기만 치르면 약 23.3%입니다.
| 경기당 승리 확률 (%) | P(n경기 중 어딘가에서 k연승) |
|---|---|
| 15 | 0.17% |
| 30 | 4.43% |
| 45 | 24.95% |
| 60 | 64.43% |
| 75 | 94.43% |
| 90 | 99.96% |
| 120 | 103.97% |
결과 해석
'어딘가에서' 확률이 높다면 그 정도 연승은 해당 전력의 팀에게 흔한 일이어서 상승세의 증거로 보기 어렵습니다. 5% 미만처럼 낮다면 독립 가정 아래에서 정말 드문 일이며, p를 낮게 잡았을 가능성을 생각해 볼 수 있습니다.
흔한 실수
- p^k를 '이번 시즌에 연승할 확률'로 말하는 경우(특정 구간 하나의 확률일 뿐입니다)
- 상대와 경기장이 바뀌는데도 p를 고정된 값으로 믿는 경우
- 'k연승 이상'에 더 긴 연승도 포함된다는 점을 잊는 경우
자주 묻는 질문
연패 확률은 어떻게 구하나요?
패배 확률(100 − 승률)을 p에 넣으면 같은 방식으로 계산됩니다.
왜 n × p^k로 계산하지 않나요?
겹치는 구간을 중복해서 세기 때문이며, 시즌이 길면 100%를 넘을 수도 있습니다.
'핫 핸드'는 실제로 있나요?
연구마다 결론이 다릅니다. 이런 연승 확률은 핫 핸드를 주장할 때 넘어서야 할 기준선입니다.
출처: Mark F. Schilling, "The Longest Run of Heads", The College Mathematics Journal 21(3), 1990 · William Feller, An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Vol. 1, Wiley (recurrent events and runs)