자기상관함수(ACF) 계산기

자기상관(ACF) 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

자기상관함수(ACF)는 시계열이 시간을 밀어 놓은 자기 자신과 얼마나 강하게 상관되어 있는지를 나타냅니다. 시차 k의 값은 "이번 시점이 평균보다 높으면 k 시점 뒤에도 평균보다 높은 경향이 있는가"를 수치로 보여 줍니다. 추세와 계절성을 찾거나, 모형의 잔차에 남은 구조를 점검할 때 씁니다.

계산 방법

• 평균: x̄ = Σxₜ ÷ n
• 시차 k의 ACF: rₖ = Σ (xₜ − x̄)(xₜ₊ₖ − x̄) ÷ Σ (xₜ − x̄)². 분자는 겹치는 n − k쌍을, 분모는 n개 값 전체를 사용합니다.
• 95% 유의 한계 = 1.96 ÷ √n

시차 1부터 입력한 최대 시차까지 계산하며, rₖ는 −1과 1 사이의 값입니다.

원리

ACF는 시계열과 시차를 둔 자기 자신 사이의 상관계수입니다. 분모에 각 구간의 분산이 아니라 전체 분산을 쓰는 것이 박스-젠킨스의 표준 추정량이며, 큰 시차에서 값이 조금 작아지는 대신 안정적인 성질을 가집니다. 시계열이 순수한 백색잡음이라면 각 rₖ는 평균 0, 표준편차 1/√n인 정규분포에 가까우므로, ±1.96/√n을 벗어나면 5% 수준에서 드문 값으로 봅니다. ACF가 천천히 줄어들면 추세를, 시차 12나 4에서 봉우리가 보이면 월별·분기별 계절성을 의심합니다.

예제 풀이

1. 시계열: 5, 7, 6, 8, 9, 8, 10, 11, 10, 12 (n = 10), 최대 시차 4입니다.
2. 평균 x̄ = 86 ÷ 10 = 8.6이고 편차는 −3.6, −1.6, −2.6, −0.6, 0.4, −0.6, 1.4, 2.4, 1.4, 3.4입니다.
3. 분모인 편차 제곱합은 44.4입니다.
4. 분자인 곱의 합은 시차 1 = 21.64, 시차 2 = 18.88, 시차 3 = 7.12, 시차 4 = −7.04입니다.
5. ACF는 lag 1: 0.4874 · lag 2: 0.4252 · lag 3: 0.1604 · lag 4: −0.1586입니다.
6. 유의 한계는 1.96 ÷ √10 ≈ 0.6198064214입니다.

결과 해석

예제에서는 어느 시차도 ±0.62를 넘지 않아, 시계열이 뚜렷이 오르는데도 값이 10개뿐이라 개별적으로 유의하지 않습니다. 짧은 시계열에서는 한계가 매우 넓다는 점을 보여 줍니다. 추세가 있으면 ACF가 높게 시작해 천천히 줄어드는 것이 보통이며, 차분(xₜ − xₜ₋₁)을 하면 대개 사라집니다. 모형 잔차라면 모든 시차가 한계 안에 들어오는 것이 바람직합니다.

흔한 실수

• 시차를 많이 보다가 한계를 넘은 하나를 의미 있다고 판단하는 경우입니다. 우연히도 20개 중 1개 정도는 넘습니다.
• 추세를 제거하지 않은 채 ACF를 계절성이나 지속성으로 해석하는 경우입니다.
• 짧은 시차의 영향을 제거한 편자기상관(PACF)과 혼동하는 경우입니다.

자주 묻는 질문

시차는 몇 개까지 보면 되나요?

보통 n/4 정도까지 보고, 계절성이 있을 수 있다면 계절 주기의 한두 배까지 확인합니다.

프로그램마다 ACF 값이 조금 다른 이유는 무엇인가요?

일부는 시차별 합을 n − k로 나누거나, 바틀렛 공식처럼 다른 유의 한계를 쓰기 때문입니다.

ACF와 PACF는 어떻게 다른가요?

PACF는 시차 1부터 k − 1까지의 영향을 제거한 뒤 남는 상관으로, AR 모형의 차수를 정할 때 씁니다.

출처: G. E. P. Box, G. M. Jenkins, G. C. Reinsel and G. M. Ljung, Time Series Analysis: Forecasting and Control, 5th ed., Wiley, 2015 · R. J. Hyndman and G. Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, 3rd ed., OTexts, 2021, Section 2.8