홍라이프 계산기더빈-왓슨 통계량 계산기 쉽게 이해하기 — 개념과 원리
더빈-왓슨 통계량 d는 회귀모형의 잔차가 바로 앞 시점의 잔차와 상관되어 있는지(1차 자기상관)를 검정합니다. 월별 매출이나 일별 측정값처럼 시간 순서가 있는 데이터로 회귀분석을 했다면, 오차가 서로 상관될 때 표준오차와 p값을 믿을 수 없게 되므로 꼭 확인해야 합니다.
계산 방법
- d = Σ (eₜ − eₜ₋₁)² ÷ Σ eₜ². 분자는 t = 2부터 n까지, 분모는 t = 1부터 n까지 더합니다.
- 1차 자기상관 ≈ 1 − d ÷ 2
잔차(관측값 − 적합값)를 시간 순서대로 쉼표로 구분해 입력하며, 3개 이상이 필요합니다. d는 단위가 없고 0에서 4 사이의 값을 가집니다.
원리
분자를 전개하면 Σeₜ² + Σeₜ₋₁² − 2Σeₜeₜ₋₁가 됩니다. 자료가 길면 앞의 두 합은 각각 Σeₜ²와 거의 같으므로 d ≈ 2 × (1 − r)이 되고, r은 잔차의 1차 자기상관계수입니다. 이웃한 잔차가 무관하면(r ≈ 0) d는 2 근처입니다. 같은 부호가 이어지면(r이 +1에 가까우면) 이웃 간 차이가 작아 d가 0에 가까워지고, 부호가 번갈아 바뀌면(r이 −1에 가까우면) 차이가 커져 d가 4에 가까워집니다. 더빈과 왓슨은 표본 크기와 설명변수 수에 따라 달라지는 하한·상한 임계값(dL, dU)을 제시했습니다.
예제 풀이
- 잔차: 0.5, −0.3, 0.2, 0.4, −0.6, 0.1, −0.2, 0.3 (n = 8)입니다.
- 이웃 차이의 제곱은 0.64, 0.25, 0.04, 1.00, 0.49, 0.09, 0.25이고 합은 2.76입니다.
- 잔차 제곱은 0.25, 0.09, 0.04, 0.16, 0.36, 0.01, 0.04, 0.09이고 합은 1.04입니다.
- d = 2.76 ÷ 1.04 ≈ 2.653846154입니다.
- 1차 자기상관 ≈ 1 − 2.653846 ÷ 2 ≈ −0.3269230769입니다.
결과 해석
- d가 2 근처: 1차 자기상관의 증거가 없습니다.
- d가 2보다 많이 작음: 양의 자기상관으로, 시계열에서 가장 흔하며 표준오차가 과소평가되기 쉽습니다.
- d가 2보다 많이 큼: 음의 자기상관으로, 예제처럼 잔차의 부호가 자주 바뀝니다.
정식 판단은 표의 dL, dU와 비교하며(음의 자기상관은 4 − d로 비교), 두 값 사이면 판단을 유보합니다. 예제처럼 잔차가 8개뿐이면 검정력이 낮으므로 참고용으로만 보십시오.
흔한 실수
- 잔차를 시간 순서가 아닌 다른 순서로 넣으면 통계량이 의미가 없습니다.
- 잔차 대신 원자료를 넣는 경우입니다.
- 종속변수의 시차값이 설명변수에 들어 있는 모형에 적용하는 경우입니다. 이때는 더빈 h 검정이나 브로이쉬-갓프리 검정을 씁니다.
자주 묻는 질문
더빈-왓슨 값은 얼마면 괜찮은가요?
실무에서는 대략 1.5~2.5를 무난하게 보기도 하지만, 정확한 판단은 표본 크기와 설명변수 수에 맞는 임계값으로 해야 합니다.
1 − d/2가 왜 근사값인가요?
처음과 마지막 잔차의 제곱이 분자에 한 번씩만 들어가기 때문에, d = 2(1 − r)은 표본이 커질수록 정확해집니다.
자기상관이 있으면 어떻게 하나요?
빠진 시간 관련 변수나 시차 변수를 추가하거나, AR 항으로 오차를 모형화하거나, 뉴이-웨스트 표준오차를 사용합니다.
출처: J. Durbin and G. S. Watson, "Testing for Serial Correlation in Least Squares Regression I and II", Biometrika 37 (1950) and 38 (1951) · J. M. Wooldridge, Introductory Econometrics: A Modern Approach, Cengage, Chapter 12