지수평활 예측 (단순지수평활·홀트)

지수평활 예측 쉽게 이해하기 — 개념과 원리

지수평활법은 과거 값에 오래될수록 작아지는 가중치를 주어 평균을 내고, 이를 바탕으로 단기 예측값을 구하는 방법입니다. 이 계산기는 수준만 추적하는 단순지수평활(SES)과 추세까지 추적하는 홀트(Holt) 선형 방법을 함께 계산합니다. 수요·매출·재고 계획에 널리 쓰입니다.

계산 방법

• SES: L = y₁에서 시작해 값마다 Lₜ = α × yₜ + (1 − α) × Lₜ₋₁을 계산합니다. 앞으로의 모든 예측값은 마지막 L입니다.
• 홀트: 수준 L₁ = y₁, 추세 T₁ = y₂ − y₁에서 시작해 t = 2부터 n까지 다음을 반복합니다.
• Lₜ = α × yₜ + (1 − α) × (Lₜ₋₁ + Tₜ₋₁)
• Tₜ = β × (Lₜ − Lₜ₋₁) + (1 − β) × Tₜ₋₁
• h단계 뒤 홀트 예측 = Lₙ + h × Tₙ

α와 β는 0과 1 사이이며, 예측값의 단위는 자료와 같습니다.

원리

SES 식을 풀어 쓰면 yₜ에는 α, yₜ₋₁에는 α(1 − α), yₜ₋₂에는 α(1 − α)²의 가중치가 붙어, 가중치가 기하급수적으로 줄어드는 가중평균이 됩니다. α가 크면 새 자료에 빨리 반응하고, 작으면 잡음을 잘 걸러 냅니다. SES는 추세가 없다고 가정하므로 오르는 시계열에서는 늘 한발 늦습니다. 홀트 방법은 기울기도 함께 평활해 이 문제를 해결합니다. 수준은 새 관측값과 "직전 수준 + 추세" 사이에서 정하고, 추세는 최근 수준 변화 쪽으로 조금씩 고칩니다.

예제 풀이

1. 자료: 120, 125, 130, 128, 135, 140, 145, α = 0.5, β = 0.3, h = 3입니다.
2. SES 수준은 120, 122.5, 126.25, 127.125, 131.0625, 135.53125, 140.265625이므로 SES 예측은 140.265625입니다.
3. 홀트 시작값은 L = 120, T = 5입니다.
4. (수준, 추세)는 (125, 5), (130, 5), (131.5, 3.95), (135.225, 3.8825), (139.55375, 4.016375), (144.2850625, 4.23085625)입니다.
5. 홀트 예측 = 144.2850625 + 3 × 4.23085625 ≈ 156.9776312입니다.

결과 해석

SES는 상승 흐름을 무시하므로 마지막 실제값 145보다 낮은 약 140을 계속 예측합니다. 홀트는 한 단계에 약 4.2씩 오른다고 보고 3단계 뒤를 약 157로 예측합니다. 추세가 있는 자료에서는 대개 홀트가 더 정확하고, 평평하고 잡음이 많은 자료에서는 SES로도 충분합니다. 방법의 우열은 과거 적합도가 아니라 최근 구간을 남겨 두고 잰 예측 오차로 판단하십시오.

흔한 실수

• 추세나 계절성이 뚜렷한 자료에 SES를 쓰는 경우입니다. 계절성에는 홀트-윈터스 방법이 필요합니다.
• α, β를 감으로 정하고 과거 예측 오차로 검토하지 않는 경우입니다.
• 홀트 추세를 먼 미래까지 연장하는 경우입니다. 선형 추세는 오래 이어지기 어렵습니다.

자주 묻는 질문

α는 얼마로 정하나요?

잡음이 많은 자료는 0.1~0.3을 흔히 쓰며, 가장 좋은 방법은 과거 자료의 한 단계 앞 예측 오차 제곱합을 최소로 하는 값을 고르는 것입니다.

ARIMA와는 어떤 관계인가요?

SES는 ARIMA(0,1,1), 홀트 선형 방법은 ARIMA(0,2,2)와 같은 점예측을 냅니다.

출처: C. C. Holt, "Forecasting seasonals and trends by exponentially weighted moving averages" (1957), reprinted in International Journal of Forecasting 20 (2004) · R. J. Hyndman and G. Athanasopoulos, Forecasting: Principles and Practice, 3rd ed., OTexts, 2021, Chapter 8